Dérivée d'un quotient de fonctions

Théorème

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle \(I\) de `\mathbb{R}` et si la fonction \(v\) ne s'annule pas sur \(I\), alors la fonction quotient \(\dfrac{u}{v}\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u' \times v-u \times v'}{v^2}}\).

Exemple

On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\dfrac{\color{blue}{1+5x}}{\color{green}{x^2+3}}\).

• La fonction \(g\) est un quotient de fonctions : pour tout réel \(x\), \(g(x)=\dfrac{\color{blue}{u(x)}}{\color{green}{v(x)}}\).
• On pose, pour tout \(x\) réel : \(\color{blue}{u(x)=1+5x}\) et \(\color{green}{v(x)=x^2+3}\). 
  \(u\) et \(v\) sont dérivables sur `\mathbb{R}` car ce sont des fonctions polynômes.
  Pour tout réel \(x\), \(\color{blue}{u'(x)=5}\) et \(\color{green}{v'(x)=2x}\).  
  De plus, \(v\) ne s'annule pas sur `\mathbb{R}`.
  
• Ainsi \(g\) est dérivable sur `\mathbb{R}` et, pour tout réel \(x\) :
  \(g'(x)=\dfrac{\color{blue}{u'(x)} \times \color{green}{v(x)} - \color{blue}{u(x)} \times \color{green}{v'(x)}}{\color{green}{(v(x))^2}}\).
  Soit \(g'(x)=\dfrac{\color{blue}{5} \times \color{red}{(}\color{green}{x^2+3}\color{red}{)} - \color{red}{(}\color{blue}{1+5x}\color{red}{)} \times \color{green}{2x}}{\color{red}{(}\color{green}{x^2+3}\color{red}{)}^2}\)
  soit \(g'(x)=\dfrac{\color{red}{(}5x^2+15\color{red}{)}-\color{red}{(}2x+10x^2\color{red}{)}}{(x^2+3)^2}\)
  soit \(g'(x)=\dfrac{5x^2+15-2x-10x^2}{(x^2+3)^2}\)                 
  soit \(g'(x)=\dfrac{-5x^2-2x+15}{(x^2+3)^2}\).
  

Remarque

L'étude du signe de la dérivée d'une fonction nous permet d'obtenir les variations de cette fonction. À cette fin, il n'est pas utile de développer le dénominateur dans la dérivée d'un quotient de fonctions car il s'agit d'un carré : on a immédiatement son signe qui est positif.